Tatić je rođen u Novom Sadu u glumačkoj porodici. Njegovi roditelji Branko i Hristina su takođe bili glumci. U mladosti je trenirao boks, ali je odustao nakon treće borbe u kojoj je bio nokautiran.
Studirao je glumu na Akademiji za pozorište, film, radio i televiziju u Beogradu, a glumački uzor mu je bio Hemfri Bogart. O svojoj nacionalnosti nije javno govorio. Iako je tokom karijere odigrao mnoge ozbiljne i zahtevne uloge, šira publika je Josifa Tatića prepoznavala po ulozi Božidara Soldatovića Jataganca, direktora preduzeća i tipičnog predstavnika birokratije iz vremena o kome priča serija “Bolji život”, Siniše Pavića.
Čuveni glumac ima dva braka iza sebe i dve ćerke - Jelisavetu Tatić Čuturilo koja se bavi kostimografijom, koju je dobio u prvom braku sa Biljanom Dragović, takođe poznatom kostimografkinjom i Hristinu Tatić iz drugog braka sa suprugom Bebom.
Verovatno najbolji opis njegove ličnosti dao je glumac Predrag Ejdus sa kojim je bio dugogodišnji prijatelj:
- Za Taleta mogu da kažem da je bio izuzetno dobar čovek, sjajan umetnik, beskrajno duhovit i prijatan, čovek koji je uvek iznenađivao i okolinu i partnere svojim lucidnim rešenjima, bio je strastveni epikurejac, uživao u životu, neprevaziđeni prijatelj i drug od koga nikada nisam mogao da očekujem da će uraditi nešto loše, nepristojno ili neprikladno, imali smo ogromno poverenje jedan u drugoga i bili beskrajno vezani - rekao je Ejdus svojevremeno.
Josif Tatić je bio pravi boem i nije krio da voli dobru kapljicu. Godinama je pokušavao da ostavi cigarete i alkohol i poslednjih pet godina života pio je samo crveno vino. Ipak, zdravlje mu je tada bilo već ozbiljno ugroženo. Glumac je preminuo u snu 8. februara 2013. u svom domu u Beogradu. Kremiran je i sahranjen na beogradskom Novom Groblju.